«Ділити на нуль не можна!» - все заучують це правило напам'ять, не замислюючись. А, власне, чому не можна?
Вся справа в тому, що чотири дії арифметики - додавання, віднімання, множення і ділення - насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними тільки два з них - додавання і множення. Ці операції та їх властивості включаються у визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином з цих двох.
Розглянемо, наприклад, віднімання. Що значить 5 - 3 ? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відняти (прибрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. Але ось математики дивляться на цю задачу зовсім по-іншому. Немає ніякого віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 - 3 означає таке число, яке при додаванні з числом 3 дасть число 5 . Тобто 5 - 3 - це просто скорочена запис рівняння: x + 3 = 5 . У цьому рівнянні немає ніякого віднімання. Є лише завдання - знайти відповідне число.
Точно так само йде справа з множенням і діленням. Запис 8 : 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівним купками. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x = 8 .
Ось тут-то і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5 : 0 - це скорочення від 0 · x = 5 . Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5 . Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0 . Це невід'ємне властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.
Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось крім нуля, просто не існує. Тобто наше завдання не має рішення. А значить, запису 5 : 0 не відповідає ніякого конкретного числа, і вона просто нічого не означає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють фрази "На нуль ділити не можна".
Найуважніші читачі в цьому місці неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? У самому справі, адже рівняння 0 · x = 0 благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0 , і тоді отримуємо 0 · 0 = 0 . Виходить, 0 : 0=0 ? Але не будемо поспішати. Спробуємо взяти x = 1 . Отримаємо 0 · 1 = 0 . Правильно? Отже, 0 : 0 = 1 ?
Але ж так можна взяти будь-яке число і отримати 0 : 0 = 5 , 0 : 0 = 317 і т. д. І, якщо підходить будь-яке число, то у нас немає ніяких підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якому числу відповідає запис 0 : 0 . А раз так, то ми змушені визнати, що ця запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль.
Ось така особливість є в операції ділення. А точніше - в операції множення і пов'язаного з нею числа нуль.
