Співрозмовник пропонує вам задумати будь-яке двозначне число і продублювати його два рази таким чином, щоб вийшло шестизначне число. Наприклад, 27 - 272 727 або 78 - 787 878. Далі він, не знаючи, зрозуміло, вашого шестизначного числа, пропонує вам розділити його на 37 і гарантує, що поділ пройде без залишку. Ви виробляєте поділ, і, дійсно, залишку не має. Далі він пропонує розділити отриманий результат на 13 і знову запевняє вас, що залишку не буде. Ви ділите і знову без залишку. Потім він так само просить вас розділити результат на 7 і після цього - ще на 3. Остаточне поділ знову не дає залишку і, більше того, ви отримуєте задумане вами двозначне число, яке співрозмовнику було невідомо. Яким чином він проробляє цей дивний, на перший погляд, фокус?
ВІДПОВІДЬ
Будь-яке двозначне число, помножене на 10 101, дає сама себе, продублированное два рази у вигляді шестизначного числа:
17 х 10101 = 171 717
23 х 10101 = 323 232
39 х 10101 = 393 939
Це відбувається з наступних причин:
830 000 + 8 300
83 х 10101 =83 х(10 000 + 100 + 1) = 83
838 383
Таким чином, будь-шестизначне число виду ababab ділиться без залишку на 10 101 і в результаті дає число виду ab. Але 10 101 можна представити як добуток: 3 х 7 х 13 х 37, значить, будь-яке число виду ababab буде без залишку ділитися послідовно і на 3, і на 7, і 13, і на 37 (послідовність, зрозуміло, може бути будь-який) і в результаті дасть число виду ab (див. також завдання 98).
Фокус можна урізноманітнити, якщо врахувати, що число 10101 можна представити у вигляді добутку інших множників:
21 х 13 х 37
7 х 39 х 37
3 х 91 х 37
7 x 13 x 111 (Див. також завдання 98.)
