Земну кулю стягнули обручем по екватору. Потім довжину обруча збільшили на 10 м. При цьому між поверхнею Земної кулі і обручем утворився невеликий зазор. Чи зможе людина пролізти в цей зазор? (Довжина земного екватора приблизно дорівнює 40 000 км.)
На перший погляд може здатися, що зазор буде настільки маленьким (адже 10 м - це майже ніщо в порівнянні з 40 000 км), що в нього не зможе пролізти не тільки людина, але навіть кішка. Насправді ж величина зазору буде приблизно дорівнює 1,6 м, тобто людина не тільки зможе пролізти в нього, але навіть пройти (може бути, злегка нахиливши голову). Як відомо, довжина кола дорівнює 2πR, де R - її радіус. Значить радіус окружності дорівнює: l/2π, де l - довжина кола. Таким чином, довжина кола і її радіус знаходяться відносно прямої пропорційності, але при цьому радіус менше довжини. Збільшення довжини екваторіального обруча - це збільшення довжини кола. Користуючись вищенаведеною формулою, легко встановити збільшення її радіусу, яке буде величиною зазору, що утворився між обручем і поверхнею земної кулі. Зробивши прості підрахунки, ви побачите, що при збільшенні довжини екваторіального обруча всього на 1 м, радіус збільшується приблизно на 16 див. В такий зазор може пролізти кішка. Збільшення довжини обруча на 10 м (як в умові задачі) збільшує зазор приблизно на 1,6 м, і в нього може пройти людина. Якщо ж довжина екваторіального обруча збільшиться на 100 м, то величина зазору буде приблизно дорівнює 16 м. В такий зазор цілком зможе «пролізти» п'ятиповерховий будинок. Ця задача буде ще дивніше і парадоксальніша, якщо її сформулювати так. Земну кулю стягнуть обручем по екватору, і точно так само «по екватору» стягнуть обручем апельсин. Уявімо, що довжина кожного обруча збільшилася на 1 м. При цьому між поверхнями цих тіл і їх обручами утворюється зазор. В якому випадку цей зазор буде більше - земної кулі або апельсина? Здається безсумнівним, що більше він буде у апельсина. Однак насправді в обох випадках буде однаковою, рівною приблизно 16 див. Довести це неважко. Нехай довжина кола земної кулі дорівнює I м, а апельсина 1 м. Тоді радіус Землі R = L/2π, а радіус апельсина r = l/2π. Після збільшення довжини обруча на 1 м окружність обруча у Землі буде L + 1, а у апельсина 1 + 1, радіуси їх, відповідно, будуть (L + 1)/2π і (1 + 1)/2π. Якщо з нових радіусів відняти колишні, щоб отримати величину зазору, то результат і для Землі, і для апельсина буде одним і тим же:
Цей вражаючий результат є наслідком сталості відношення довжини кола до його радіуса.
